Павел Витальевич Бибиков.
1. Почему радуга круглая?
2. Почему бассейны кажутся мелкими?
3. Почему в пустыне бывают миражи?
4. Почему прогноз погоды неточен?
5. Почему придумали григорианский календарь?
6. Почему географические карты врут?
7. Почему реактивные самолеты не падают?
8. Почему Колумбу не разрешили плыть в Индию?
9. Почему Кеплер перепутал эллипс с окружностью?
10. Почему галактики во Вселенной расположены неслучайно?
11. Почему в экономике бывают кризисы?
Сергей Иванович Васянин
1. Арифметика (общие и исторические сведения)
2. Системы счисления.
3. Арифметика пифагорейцев.
4. Отрицательные числа.
5. Дроби и пропорции.
6. Математические игры.
7. Евклид и его начала.
8. Архимед.
9. Лобачевский и его геометрия.
10. Из истории измерения длин и углов.
11. Графы: теорема эйлера.
12. Графы: проблема 4 красок.
13. Аксиомы арифметики.
Никита Дмитриевич Гуров
1. Ахиллес, черепаха и сумма бесконечной геометрической прогрессии.
2. Признаки делимости в разных системах счисления.
1. Существует ли развертка выпуклого многогранника, которая самопересекается?
2. Найдите все 3-мерные развертки 4-мерного куба.
3. Если на клетчатой бумаге сделать квадратную сетку ноликов, составленную ходом коня, то по горизонтали, вертикали и диагонали можно расположить 4 крестика в ряд, но нельзя расположить 5 крестиков. Если делать квадратную сетку обобщенными ходами коня (другой сдвиг по горизонтали и вертикали), то при каких n существует сетка, позволяющая поставить n крестиков в ряд в любом направлении, но не позволяющая поставить n+1?
4. Футбольный мяч сшит из черных 5-угольников и белых 6-угольников. Каждый 5-угольник граничит только с 6-угольниками, а каждый 6-угольник граничит с тремя 5-угольниками и тремя 6-угольниками. Сколько может быть граней у такого мяча?
5. Купец раздавал сыновьям наследство. Первому дал 1 тыс. руб. и 1/10 остатка, второму дал 2 тыс. руб. и 1/10 остатка, последнему дал n тыс. руб. и 1/10 остатка. После этого денег не осталось. Сколько денег получил каждый? (Задача Эйлера)
6. В некоторой компании n друзей. У каждого из них появилась своя новость. Они по очереди посылают друг другу электронные письма (один – одному), в которых сообщают все известные им новости. Какого наименьшего числа писем хватит, чтобы все узнали все новости? А если заменить электронные письма звонками по телефону?
7. На плоскости нарисовано n прямых общего положения (среди них нет параллельных и в одной точке пересекаются только две прямые). Плоскость разрезали вдоль этих прямых. Докажите, что среди частей найдутся по крайней мере n-2 треугольника.
8. В городе Алпатьевске на каждом автобусном маршруте ровно k остановок. Каждые два маршрута имеют ровно одну общую остановку, и каждые две остановки связаны маршрутом. Сколько остановок и сколько маршрутов в Алпатьевске? (Модель дискретной проективной плоскости.)
9. На пир собрались рыцари. Известно, что у каждого из них в этой компании больше половины друзей. Докажите, что рыцарей можно рассадить за круглым столом так, что справа и слева от каждого будет сидеть его друг.
10. Докажите, что куб и равновеликий ему тетраэдр не равносоставлены. (Ослабленный вариант третьей проблемы Гильберта).
11. Прямоугольник разрезан на прямоугольнички, у которых есть хотя бы одна целая сторона (длина стороны - целое число). Докажите, что у исходного прямоугольника тоже есть хотя бы одна целая сторона.
12. Докажите, что у выпуклого (10n)-гранника найдутся n граней с одинаковым числом сторон.
13. Три круга имеют непустое пересечение. Все попарные расстояния между центрами кругов уменьшили. Докажите, что у кругов будет непустое пересечение. Аналогичная задача для четырех шаров в пространстве.
14. Докажите, что уравнение xn + yn = zn , n > 2, не имеет решений в натуральных числах, если z – простое число или степень одного простого числа.
15. Можно ли придумать такую комбинацию поворотов кубика Рубика, что, повторяя эту комбинацию много раз, мы получим все возможные раскраски его граней?
16. Круг разрезали на две одинаковые части. Докажите, что линия разреза проходит через центр круга. А если разрезали квадрат?
17. Есть бесконечный клетчатый прямой угол и в одной из клеток стоит фишка, которая может двигаться либо к одной из сторон угла, либо по диагонали, приближаясь к вершине угла. Двое по очереди двигают фишку. Выигрывает тот, кто первым поставит фишку в вершину угла. Требуется описать все проигрышные клетки для начинающего игру.
Темы докладов по математике для конференции 8 классов Лицея «Вторая школа» в июне 2011 г.
Игорь Дмитриевич Жижилкин
1. Архимедовы тела и разбиения сферы.
2. Цепные дроби.
3. Инверсия плоскости.
4. Конические сечения.
5. Полюса и поляры.
Ирина Алексеевна Лепская
1. Системы линейных уравнений.
2. Признаки делимости.
3. Равносоставленность многоугольников.
4. Формула Пика.
5. Шифры.
6. Оригами.
7. Группы подстановок.
Алёна Николаевна Чеботарева
1. Графы и их применение.
2. Геометрические неравенства.
3. Сопряженные числа.
4. Диофантово уравнение А.А.Маркова.
5. Китайская теорема об остатках и гипотеза Ченцова.
6. Почти простые числа.